Calcul de pi avec polygones et théorème de Pytagore.(Luc Fricot)

23 mai 2022

Calcul de pi avec polygones et théorème de Pytagore.(Luc Fricot)

Dès le début du collège, j'ai pressenti que toute représentation du cercle révèle ses défauts à a l'agrandissement.
De mème, un cercle est toujours plus court à la corde.
Influencé ou non par Archimède, je considère le cercle comme un polygone infini. un polygone infini.

Je pars d'un carré de diagonale 1 et donc un cercle de diamètre 1.
Le coté du carré est donc racine(1/2) = 0.7071
Le rayon = 0.5
Périmètre du cercle = Pi x 2 x r = Pi
Périmètre du carré = 2.8284

Pour dédoubler les polygones, il faut
prendre la moitié de la longueur du côté du polygone actuel, puis
porter le rayon du cercle en passant par ce point.

Ici, par exemple, pour le carré de départ, on prend le point M qui est à la moitié du côté AB et on trace un rayon allant du centre O vers le point E (la ligne passe par M et est de la longueur du rayon).
On a donc un triangle AMO dont AM est connu (1/2 AB), AO est le rayon.,
MO se déduit avec la formule de Pythagore AM² + MO² = AO², soit racine(1/2).
ME = EO (=le rayon) – MO.
AE sera déduit par la formule AM² + EM² =AE².

Voir shéma ci-dessous

Ceci permet de faire une fonction récessive qui double le nombre de côtés du polygone et d'affiner la valeur de Pi.

Exemple Excel

A3=A2*2
B3=RACINE((0,5*0,5)-(C3*C3))
C3=E2/2
D3=0,5-B3
E3=RACINE((C3*C3)+(D3*D3))
F3=A3*E3

Cette méthode hyper simple ne nécessite que l'utilisation des racines carrées.
N'importe quel élève de 5ème peut réaliser les calculs, même à la main.

Cependant, j'arrive vite à saturation, car si le tableur gère des valeurs infimes telles que "1E-20", en revanche, "1 - 1E-20" est arrondi à 1. l

Exemple en Pascal

procedure TForm1.Calcul_pi(Sender: TObject);
var SEG,AM,ME,OM,PERI:Extended;
NB:int64;
S:string;
const rayon = 0.5;
begin
NB:=4;
SEG:=power(2,0.5)/2;
repeat
    nb:= nb+nb;
    am:=seg/2;
    om:=power(( (rayon*rayon)-(am*am) ),0.5);
    me:=rayon-om;
    seg:=power(( (me*me)+(am*am) ),0.5);
until (nb>Power(10,14)) or (seg=0);
peri:=seg*nb;
Edit1.Text:=IntToStr(nb);
Edit2.Text:=FloatToStrf(peri,ffGeneral,18,0);
end;

Toutefois on ne pourra pas affiner PI, au-delà de 18 chiffres après la virgule, du moins avec Excel 2003. Mais l'essentiel est d'avoir la taille du segment, quitte à faire les calculs à la main. Car le numérique permet l'automatisation de grands calculs complexes, mais il ne permet pas toujours les opérations de très grands nombres (>15 chiffres), notamment les racines carrées, alors que manuellement il n'y a pas de limites même

si fastidieux.

Je ne trouve pas de références à ma méthode (ou similaire), ce qui ne veut pas dire que les Babyloniens par exemple, n'eussent pu l'utiliser sans qu'une trace écrite ne nous soit parvenue.

En fait, PI est très simple à mesurer : si la roue d'un char fait 1 mètre de diagonale, celui-ci parcoure 3 mètres 14 en 1 tour, 314 m 15 en 100 tours, etc.

Mais sa description mathématique est plus ardue mais indispensable pour les calculs astronomiques. La précision de PI dès la 18ème décimale ne peut plus être calculée juste arithmétiquement, mais nécessite des stratégies mathématiques élaborées.

PI est une constante inutile à recalculer, plutôt à mémoriser:

Quatrain édité en 1898 dans une publication mathématique (longueur des mots)